Transformada de Laplace para solucionar las ecuaciones cuando son diferenciales

A continuación se tiene la presente ecuación diferencial que será realizada por medio de la transformada de Laplace con los datos base:

Comenzando la carrera se aplicará la mencionada transformada de Laplace a todos los términos presentados en la ecuación diferencial. Es momento de una sustitución por sus paralelos o equivalentes obteniendo que:

Se comienza con el reemplazo del término número uno. En este caso su paralelo o equivalente es “S” prima [S’] elevada a la dos que multiplicará a Y(s) siendo:

Es necesaria una resta y en este caso y primer equivalente restará a “S” de “y” por el número cero. Luciría de la manera siguiente:

Se le deberá añadir una última resta para que la equivalencia esté posteriormente completa arrojando la siguiente expresión:

El resultado que se ha obtenido es perteneciente únicamente al término inicial o “y” bi-prima [y”] . Se procede entonces a aplicar la transformada de Laplace al término número dos.

Se puede dar a notar que se presenta un cuatro “y” lo que no le sienta bien al proceso dado a que el número cuatro se considera como un término constante. La solución es simplemente retirarlo para que multiplique:

¿Y qué sigue ahora?

Claro está, seguir con la búsqueda de los paralelos o equivalentes. En dicho caso ahora el cuatro se añade al multiplicar a la “Y” de “s”

El extremo izquierdo del signo de la igualdad está listo por lo que es hora de emprender con el término que está faltando, el seno de tres “t”

Ocurre que en la transformada de Laplace, decir tres es prácticamente igual que decir “k” y por aplicación de fórmula en este caso el número tres se colocará sobre “s” elevada al cuadrado sumando a “k” al cuadrado también.

Ocurre que como “k” es el número tres, al estar “k” elevada al cuadrado lo mismo pasará con el número tres.

¿Y quiere decir…?

Que con la aplicación luciría así:

Téngase en consideración que tres al cuadrado da nueve.

Realmente todo se ve confuso, la buena noticia es que es posible realizar una reducción. Esto dado a que se dan las condiciones, es decir “y” de cero y “y” prima de cero equivalen a cero.

Salen del juego.

Y ha sobrevivido lo siguiente:

También se aprecia que las condiciones se prestan para realizar una factorización. Esto, porque existen dos términos que están multiplicando a Y(s) por lo que:

Y ahora, un despeje para separar a Y(s) del resto:

Y en este momento se realizará algo interesante, la misma transformada pero invertida y así volver a términos de “t”.

Del lado izquierdo el sol sonríe, no obstante, no ocurre lo mismo con el otro lado ya que se necesitarán fracciones parciales. Es un proceso largo, pero para mayor comodidad se mostrará a lo que se debe llegar.

Basta con aplicar la transformada inversa de Laplace al grupo de términos. 

Se podrá observar que en el lado derecho, se expresa como un trabajo mayor al dar un toque de sutilezas de un resultado de seno por las elevaciones a las dos de los términos.

Para llevarlo realmente a cabalidad, dentro de los términos deben colocarse números que multipliquen para un mayor equilibrio.

Ya ejecutando las debidas operaciones y haciendo reducciones, la expresión pasará a lucir así:

Y con la transformada invertida se obtiene el resultado final de nuestra ecuación diferencial:

Video de Transformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales