Integral por Cambio de Variable

Este método de integración es uno de los más completos, puesto que para emplearlo debes de conocer diversos artificios matemáticos para así lograr resolver la integral. 

Es significativo señalar, que esta técnica es una de las favoritas de los profesores debido a lo completa que es. 

La función principal de la técnica consiste en solo un objetivo principal que es, determinar el elemento que forma parte de la integral que no permite que se pueda resolver.

Y todo esto a través de una fórmula de integración directa.

En otras palabras, consiste en determinar aquel elemento que te estorbe para cambiarlo, es importante recordar que el elemento que se cambie se tiene que derivar, es por esto que se debe de refrescar y desempolvar temas anteriores.

De igual forma, para comprender mejor este procedimiento lo explicaremos con un ejercicio:

Al evaluar este ejercicio se puede observar que no se puede resolver de manera directa, en este tipo de caso si es viable efectuar un cambio de variable.

Como se mencionó anteriormente, para poder realizar este procedimiento se debe de buscar algún elemento de la integral que nos estorbe para poder sustituirlo por una nueva letra, en este caso seria , el cual denominaremos u. 

Una vez seleccionado el valor se prosigue en derivar el elemento seleccionado a su mínima expresión de la siguiente manera:

Ahora bien, volviendo al ejercicio inicial, podemos observar que existe una multiplicación en el denominador, lo cual nos permite dividir la fracción en dos partes de esta forma:

Una vez efectuada esta separación se prosigue en realizar la sustitución, tanto en el valor del  , como en aquellos valores similares, que realizamos a través del cambio de variable. 

Es importante tener siempre en cuenta que la integral se debe de llevar a la mínima expresión, a través del uso de cualquier artificio matemático.

Video de Integral por Cambio de Variable

Ahora bien, para que podamos integrar en un instante se prosigue en pasar la a la parte del numerador, esto traerá como consecuencia que el exponente cambie de signo, obteniendo lo siguiente:

Después de haber efectuado ese traslado del valor al numerador, podemos observar que la expresión es similar a la siguiente formula de integración:

Lo único que se tendría que hacer es sumar un 1 al exponente y dividirlo entre n+1, y como es una integral indefinida se le debe agregar al final su constante de integración. Aplicando esa fórmula a nuestra integral obtendremos lo siguiente:

Al resolver la suma de fracciones que se encuentra en la integral podemos obtener lo siguiente:

Para poder seguir resolviendo la expresión se debe de aplicar la ley del sándwich o también llamada el método de la doble C, el cual consiste en multiplicar extremo por extremo y medio por medio, quedando de la siguiente forma:

Es importante recordar, en términos matemáticos, que debajo de cualquier valor se encuentra un 1 que lo divide.

Una vez empleado el método, la integral quedaría así:

Para finalizar el ejercicio se prosigue en sustituir los valores del cambio de variable por el valor original del ejercicio.